梅森素數：數論中的鉆石

【光明網科技】眾所周知，素數也叫質數，是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希臘數學家歐幾里得就已證明素數有無窮多個，并提出一些素數可寫成“2^p-1”(其中指數p也是素數)的形式。這種特殊形式的素數具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家(包括數學大師費馬、笛卡爾、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等)和無數的業余數學愛好者對它進行探究；而17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林 梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將2^p-1型的素數稱為“梅森素數”(Mersenne Primes)。迄今為止，人類僅發現47個梅森素數。這種素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。由于梅森素數珍奇而迷人，它被人們譽為“數論中的鉆石”。

　　貌似簡單 探究極難

梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。1772年，有“數學英雄”美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的頑強毅力與解題技巧令人贊嘆不已；法國大數學家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數2^11213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發出的信封都蓋上了“2^11213-1是個素數”的郵戳。

隨著指數p值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比；而數學家和業余數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家大衛 史洛溫斯基和哈里 納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生蘭登 諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們更加發奮努力，花了一個半月的時間，使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數2^44497-1；該數有13395位，是當時已知的最大素數。這件事成了當時不少主流媒體的頭條新聞。后來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們稱為“素數大王”。

大膽猜測 重大發現

人們在尋找梅森素數的同時，對其重要性質——分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它們在正整數中的分布時疏時密、極不規則，因此研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。英、法、德、美等國的數學家都曾分別給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而且與實際情況的接近程度均難如人意。